今回のテーマは「平方完成」です。
その前に、まだ2次関数が「苦手かも…」と感じている方は、
これまでの内容をもう一度読み返してみてくださいね。
「平方完成」って何?
今回のテーマは、初めて聞く方も多いかもしれません。
それが「平方完成(へいほうかんせい)」です!
平方完成って何をするの?
簡単に言うと、
① 𝑦 = 𝑥² − 4𝑥 + 5
という式を、
② 𝑦 = (𝑥 – 2)² + 1
のように書きかえることです。
こうすることで、グラフの頂点を簡単に見つけられるようになります。
では、どうやって①の式を②の形に変えるのでしょうか?
平方完成のカギは「÷2」
それでは実際にやってみましょう。
ステップ①:「𝑥の係数(-4)を2で割る」
-4 ÷ 2 = -2
この「-2」を使って、次のように書きかえます。
② 𝑦 = (𝑥 – 2)²
ステップ②:「余分に足した分を引いて調整する」
最終的には、
① 𝑦 = 𝑥² − 4𝑥 + 5
と同じ式になる必要があります。
さきほど作った (𝑥 – 2)² を展開すると、
(𝑥 – 2)² = 𝑥² − 4𝑥 + 4
となり、「+1」が足りないことがわかります。
ですので、
(𝑥 – 2)²
に「+1」を足してあげましょう。
【完成】 ② 𝑦 = (𝑥 – 2)² + 1
補足
実はこの平方完成は、
中学3年生で学んだ因数分解がとても重要です。
因数分解に不安がある方は、
こちらのページで復習してみてくださいね。
まとめ:平方完成の手順
① 式が 𝑦 = 𝑥² – 𝑏𝑥 + 𝑐 の形になっているか確認する
② 𝑏 ÷ 2 を計算し、その数を使って (𝑥 ± 𝑏/2)² の形を作る
③ 展開して、元の式に合わせるように足りない(または余分な)数を調整する
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